MATMA PODSTAWOWA – ZAD. 11
Równanie wymierne
Rozwiąż równanie:
(x + 3)/(x − 2) = 2
Rozwiązanie opisowe
Najpierw ustalamy dziedzinę. Mianownik nie może być równy zeru, dlatego x ≠ 2. Następnie mnożymy obie strony równania przez wyrażenie x − 2.
x + 3 = 2(x − 2)
x + 3 = 2x − 4, x = 7
Dlaczego trzeba podać założenie x ≠ 2? Dla x = 2 mianownik byłby równy zeru, a dzielenie przez zero nie jest określone. Otrzymana liczba 7 należy do dziedziny.
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest x = 7.
MATMA PODSTAWOWA – ZAD. 12
Potęgi
Oblicz wartość wyrażenia:
(2³ · 4⁻¹)²
Rozwiązanie opisowe
Zapisujemy wszystkie liczby jako potęgi o podstawie 2. Ponieważ 4 = 2², to 4⁻¹ = 2⁻².
(2³ · 2⁻²)² = (2³⁻²)²
Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
(2¹)² = 2² = 4
Dlaczego 4⁻¹ zamieniamy na 2⁻²? Liczba 4 jest równa 2², a podniesienie potęgi do potęgi oznacza mnożenie wykładników: (2²)⁻¹ = 2⁻².
Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi 4.
MATMA PODSTAWOWA – ZAD. 13
Średnia arytmetyczna i mediana
Dane są liczby: 4, 7, 7, 9, 13. Oblicz ich średnią arytmetyczną i medianę.
Rozwiązanie opisowe
Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb podzielona przez ich liczbę.
(4 + 7 + 7 + 9 + 13)/5 = 40/5 = 8
Liczby są już uporządkowane rosnąco. Ponieważ jest ich pięć, mediana jest środkową, czyli trzecią wartością.
Mediana = 7
Dlaczego mediana nie jest równa średniej? Średnia uwzględnia wartość każdej liczby, natomiast mediana wskazuje środek uporządkowanego zestawu.
Odpowiedź: Średnia wynosi 8, a mediana wynosi 7.
MATMA PODSTAWOWA – ZAD. 14
Podobieństwo trójkątów
Boki mniejszego trójkąta mają długości 3 cm, 4 cm i 5 cm. Najkrótszy bok podobnego, większego trójkąta ma 9 cm. Oblicz obwód większego trójkąta.
Rozwiązanie opisowe
Najkrótszy bok zwiększył się z 3 cm do 9 cm. Wyznaczamy skalę podobieństwa.
k = 9/3 = 3
Wszystkie odpowiadające sobie długości zwiększają się w tej samej skali.
4 · 3 = 12 cm, 5 · 3 = 15 cm
Obwód = 9 + 12 + 15 = 36 cm
Dlaczego każdy bok mnożymy przez 3? Podobieństwo zachowuje kształt figury, więc stosunki odpowiadających sobie boków są równe.
Odpowiedź: Obwód większego trójkąta wynosi 36 cm.
MATMA PODSTAWOWA – ZAD. 15
Procent składany
Na lokatę wpłacono 5000 zł. Oprocentowanie wynosi 4% w skali roku, a odsetki są dopisywane na koniec każdego roku. Oblicz stan lokaty po dwóch latach. Pomiń podatek.
Rozwiązanie opisowe
Po każdym roku kapitał stanowi 104% kwoty z początku tego roku, więc mnożymy aktualną kwotę przez 1,04.
5000 · 1,04² = 5000 · 1,0816
5000 · 1,0816 = 5408 zł
Dlaczego nie dodajemy po prostu 8% kwoty początkowej? W drugim roku 4% nalicza się już od 5200 zł, a więc również od odsetek dopisanych po pierwszym roku.
Odpowiedź: Po dwóch latach na lokacie będzie 5408 zł.
MATMA PODSTAWOWA – ZAD. 16
Wierzchołek paraboli
Dana jest funkcja f(x) = x² − 6x + 5. Wyznacz współrzędne wierzchołka jej wykresu oraz najmniejszą wartość funkcji.
Rozwiązanie opisowe
Współrzędną x wierzchołka obliczamy ze wzoru xW = −b/(2a). Tutaj a = 1, b = −6.
xW = −(−6)/(2 · 1) = 3
Drugą współrzędną otrzymujemy, obliczając wartość funkcji dla x = 3.
yW = f(3) = 3² − 6 · 3 + 5 = −4
Dlaczego −4 jest najmniejszą wartością? Współczynnik a = 1 jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, a wierzchołek jest jej najniższym punktem.
Odpowiedź: W = (3, −4), a najmniejsza wartość funkcji wynosi −4.
MATMA PODSTAWOWA – ZAD. 17
Ciąg geometryczny
W ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy 3, a iloraz wynosi 2. Oblicz piąty wyraz oraz sumę pięciu początkowych wyrazów.
Rozwiązanie opisowe
Korzystamy ze wzoru an = a1 · qn−1.
a5 = 3 · 2⁴ = 48
Pierwszych pięć wyrazów to 3, 6, 12, 24 i 48.
S5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93
Dlaczego w wykładniku występuje n − 1? Aby dojść od a₁ do a₅, wykonujemy cztery kolejne mnożenia przez iloraz 2.
Odpowiedź: a₅ = 48, a S₅ = 93.
MATMA PODSTAWOWA – ZAD. 18
Pole trójkąta z sinusem
Dwa boki trójkąta mają długości 8 cm i 10 cm, a kąt między nimi ma miarę 30°. Oblicz pole tego trójkąta.
Rozwiązanie opisowe
Znamy dwa boki oraz kąt zawarty między nimi, dlatego stosujemy wzór P = ½ab · sin α.
P = ½ · 8 · 10 · sin 30°
Wiemy, że sin 30° = 1/2.
P = 40 · 1/2 = 20 cm²
Dlaczego używamy sinusa kąta między bokami? Wysokość opuszczona na jeden bok jest równa drugiemu bokowi pomnożonemu przez sinus kąta między nimi.
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 20 cm².
MATMA PODSTAWOWA – ZAD. 19
Odległość punktu od początku układu
Punkt A = (−6, 8) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego OAB, gdzie O = (0, 0), a B = (−6, 0). Oblicz długość OA oraz pole trójkąta OAB.
Rozwiązanie opisowe
Długość OA obliczamy ze wzoru na odległość punktów.
|OA| = √[(-6)² + 8²] = √100 = 10
Odcinki OB i AB są prostopadłe, a ich długości wynoszą 6 i 8.
P = ½ · 6 · 8 = 24
Dlaczego OA nie jest wysokością? OA jest przeciwprostokątną. Prostopadłe przyprostokątne to OB i AB, dlatego ich długości wykorzystujemy do obliczenia pola.
Odpowiedź: |OA| = 10, a pole trójkąta wynosi 24.
MATMA PODSTAWOWA – ZAD. 20
Stożek
Stożek ma promień podstawy równy 6 cm i wysokość równą 8 cm. Oblicz jego objętość oraz długość tworzącej.
Rozwiązanie opisowe
Objętość obliczamy ze wzoru V = ⅓πr²h.
V = ⅓ · π · 6² · 8 = 96π cm³
Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny.
l² = 6² + 8² = 100, l = 10 cm
Dlaczego stosujemy twierdzenie Pitagorasa? Wysokość stożka jest prostopadła do podstawy. W przekroju osiowym promień i wysokość są przyprostokątnymi, a tworząca jest przeciwprostokątną.
Odpowiedź: V = 96π cm³, a tworząca ma 10 cm.